La conjetura de Collatz fue propuesta por el matemático Lothar Collatz (1910-1990) en 1937. Su enunciado es sencillo de plantear:
- Elije un número entero positivo.
- Si es par, divídelo por 2.
- Si es impar, multiplícalo por 3 y suma 1 a la cantidad obtenida.
Con el número alcanzado, debes iterar este proceso.
Por ejemplo, elijo el 9. Realizando las operaciones que se indican en el enunciado, obtendríamos los números 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1…
La conjetura de Collatz afirma que, independientemente del número elegido, en un número finito de pasos, siempre se llega al 1. De hecho, si continuáramos este proceso de manera indefinida, obtendríamos la terna 4, 2, 1 repetida en bucle.
En este enlace se puede introducir el número entero que se desee y comprobar que, efectivamente, se llega en algún momento al número 1, y se explicita el número de pasos necesarios para llegar al primer 1.
Por ejemplo, si probamos con el famoso número 241.543.903, en 160 pasos (en los que aparecen 109 números pares y 51 impares), llegamos al 1.
Historia y desarrollo
Desde su formulación, la conjetura de Collatz ha intrigado a matemáticos de todo el mundo. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha podido probarla o refutarla de manera concluyente. Numerosos matemáticos, incluidas figuras prominentes como Paul Erdős, han trabajado en el problema, describiéndolo como “terriblemente difícil”.
Importancia de las Matemáticas
La conjetura de Collatz es un ejemplo perfecto de cómo los problemas sencillos pueden tener profundas implicaciones en la teoría de números. Su estudio ha llevado al desarrollo de nuevas técnicas y ha contribuido a la comprensión de las secuencias y su comportamiento. Además, la conjetura destaca la importancia de la computación en matemáticas, ya que los ordenadores han sido usados para verificar la conjetura para números extremadamente grandes, aunque una prueba general aún no se ha encontrado.
Aplicación en el aula
Para los profesores, la conjetura de Collatz puede ser una excelente herramienta didáctica. Aquí algunas ideas para integrarla en el aula:
Introducción a las Secuencias y Series: Utiliza la conjetura para enseñar sobre secuencias y series, mostrando cómo se pueden generar secuencias a partir de reglas simples.
Programación y Algoritmos: Anima a los estudiantes a escribir un programa que calcula la secuencia de Collatz para diferentes números. Esto puede ser una excelente actividad para cursos de informática o matemáticas aplicadas.
Investigación y Creatividad: Fomenta que los estudiantes exploren el problema por sí mismos. ¿Puedes encontrar un número que no llegue a 1? ¿Qué patrones observan en las secuencias?
Discusión sobre Problemas No Resueltos: Utiliza la conjetura para discutir la naturaleza de los problemas abiertos en matemáticas y la importancia de la investigación continua.
La conjetura de Collatz es una ventana fascinante al mundo de los problemas no resueltos en matemáticas. Su simplicidad engañosa y su resistencia para probar la hacen un tema intrigante para estudiantes y profesores por igual. Incorporarla en el aula no solo enriquecerá el currículo matemático, sino que también inspirará a los estudiantes a apreciar la belleza y el desafío de la matemática pura.
Atte. Patricio Figueroa M – Profesor de Matemáticas
Nota: imagen creada con IA de Bing
